志村簇简介
面向：高年级本科生，研究生和其他老师。
时间：2019/10月/26日起，每周六14:00-15：30
地点：东南大学四牌楼校区逸夫建筑馆1502
算术代数几何，粗略地说，是要研究多项式方程组在数域甚至代数整数环上的解的性质。Fermat大定理，Mordell猜想，abc猜想，Tate猜想，Weil猜想，Langlands纲领等研究课题都可是为其所涵盖的范畴。而志村簇（Shimura variety）在现代算术代数几何研究中有着极其重要的地位。它们既是该方向研究的核心对象之一，又与其它重要课题，如模空间、Galois表示、自守形式等有着深刻的联系。此系列报告的目的，即是在尽可能一般的基础上，基于例子，介绍志村簇的基本理论。
我们计划介绍以下内容。
（1）作为模空间的志村簇：模曲线是志村簇的典型特例。我们会简要回顾/介绍（复）椭圆曲线的基本事实，并解释如何将模曲线视为椭圆曲线的模空间。作为其高维推广，我们会介绍阿贝尔簇及作为其模空间的Siegel模簇。
（2）志村簇的基本概念：我们会介绍Deligne引入的志村簇的一般构造/定义。这会涉及到另外一些概念，如Deligne环面、Hodge结构及其极化与变分、Hermit对称空间、Cartan对合、简约群（reductive group）、同余子群等。我们会介绍这些概念，并基于（1）的例子加以解释。
（3）久贺-佐武构造（the Kuga-Satake construction）：粗略地说，久贺-佐武构造给出了某些权为2的极化Hodge结构与权为1的极化Hodge结构的关联，也因此给出了某些正交型志村簇和Siegel模簇的关联。鉴于正交型志村簇在Kudla纲领以及对K3曲面的研究中的基本重要性，我们会相对仔细地介绍这一部分。
（4）典范模型（canonical model）的基本理论：典范模型的存在性是志村簇的算术理论的基础。它经过了志村五郎，Deligne，Borovoi，Milne等人数十年的努力才最终于80年代建立。我们会叙述基本事实，解释反射域（reflex field），特殊点（special point）的概念，以及典范模型的唯一性。我们只会对Siegel模簇解释其典范模型的存在性。
我们会假设听众具备基本的抽象代数知识（主要是线性代数与域扩张），并对微分流形有所了解。报告所需的代数几何与数论的知识，如代数簇的基本知识，p-进数，adele等会在用到时基于具体例子引入并加以解释。
报告人介绍：
张超，2013年10月博士毕业于莱顿大学，主要从事志村簇的约化理论方面的研究。其先后于清华大学丘成桐数学中心与台北中央研究院担任博士后研究人员，并多次应邀在国际学术会议上演讲。其博士论文在Hodge型志村簇的Ekedahl-Oort层次理论方面取得重要进展，并于2018年发表在Canadian Journal of mathematics上。该文章主要结果的意义与应用正在被逐渐发掘。
