东南大学丘成桐中心是于2017年7月在东南大学设立的由学校直接管理的学术特区，中心聘请丘成桐先生为主任，开展当代重要数学问题的研究，体现东南大学的交叉学科优势，推进东南大学建设，为推动江苏省国民经济和社会发展提供应用基础研究的支撑。
南京应用数学中心是在南京市委、市政府的大力支持下，由南京麒麟科技创新园和东南大学共同发起设立的具有独立法人资格的新型研发机构。中心聘请丘成桐先生担任主任，2020年8月正式运行。中心开展当代社会重要的应用数学问题的研究，目前已有四个国内领先的应用数学研究方向。
根据丘成桐先生对两个中心的定位，东南大学丘成桐中心集中于基础数学的研究，而南京应用数学中心重点开展对解决当今国民经济和社会发展具有重要意义的应用数学的研究。两个中心自成立以来，在丘成桐先生的领导下，在东南大学和南京市麒麟科技创新园的大力支持下，取得了一系列重要的成果。
东南大学丘成桐中心
东南大学丘成桐中心以专职科研岗、行政进编、博士后研究人员等方式引进人员20余人，其中教授 3 人，副教授 6 人，海外优青 2 人，外籍专家 3 人。入选东南大学至善青年学者 1 人，江苏省双创博士 3 人。目前中心成员已主持多项国家和省部级科研项目。
东南大学丘成桐中心主要围绕代数和数论、几何和拓扑、数学物理、偏微分方程、图论等重要的基础数学方向开展工作。中心张超博士获加拿大数学会 2020 年度 G.de B. Robinson 奖、2021 年在国际顶级数学刊物《Duke Math. J.》发表了长达 120 页的学术论文；中心成员聂鑫的研究工作于 2021 年被国际顶级数学刊物 J. Diff. Geom. 接受发表；中心特聘研究员 R.Suzuki 获 NSFC 海外青年基金资助。中心已发表学术论文 41 篇，取得的学术成果包括如下几个方面：
◆01 代数和数论
建立了好约化时志村簇及其紧化的水平m分层的几何理论；建立了 parahoric 约化时 EKOR 层次的几何理论，证明了其中的若干猜想；回答了 Mark Green 与 Phillip Griffiths 关于周群形变的一系列问题；计算了一般代数闭链群的切空间并推广了 Bloch 公式；给出了p进制下 GKZ 超几何系统的构造，证明了纤维有限性以超完整性质。
◆ 02 几何和拓扑
引入新的几何流研究常数量曲率凯勒度量，给出了长时间存在的刻画；在 G2-结构的拉普拉斯流中取得了突破；给出了黎曼面上任意维数直纹面上存在平坦数量曲率埃尔米特度量的充要条件；证明了具正实双截曲率的埃尔米特度量的凯勒流形必是有理连通的代数流形；证明了近复流形上的形变延拓公式；构造了周期弗洛尔同调到定量黑格尔-弗洛尔同调的闭开态射；给出了开曲面上凸投影结构模空间的全纯刻画；证明了仿射微分几何意义下的常曲率叶状结构存在唯一性。
◆03 数学物理
在 Bethe ansatz 的代数几何方法研究中取得了突破，首次将计算代数几何方法用于研究 Bethe ansatz 方程，并且首次得到了海森堡 XXX 自旋链的 Loschmidt echo 与对角 Reyni 熵的解析表达式；计算了六维超对称共形场论的 BPS 不变量；研究了复数化陈-西蒙斯理论在扭结余部上时的非微扰结构；在对偶框架 AdS/WCFT 中，给出了全息纠缠熵的几何表达式；给出了 WCFT 的两点和三点关联函数在对偶 AdS 中的几何对应；引入了磁 quiver 和Hasse 图极大简化了 Higgs 分支模空间的研究；提出了描述量子体系纠缠结构的部分纠缠熵框架，在全息引力理论、凝聚态理论及量子信息等多个领域产生重要影响力。
◆ 04 偏微分方程
给出了埃尔米特流形上唐纳森方程的先验估计，回答了复几何中的一个公开问题；证明了非退化和退化增广海塞方程相关边值问题的二阶导数先验估计，在解的存在性和正则性的研究中取得突破。
◆ 05 图论
推广了图和矩阵谱半径的上界到超图和张量；首次研究了图兰类极值问题中非一致超图的边密度极值问题；给出了 OLLY 里奇曲率新的计算方法并定义了保总边长里奇流。
南京应用数学中心
中心以兼职、全职、双聘博士后等不同方式吸引各类专家人才加盟，目前人员规模已有 25 人。其中俄罗斯自然科学院外籍院士 1 人、享受国务院政府特殊津贴专家 1 人，江苏省数学成就奖获得者 1 人，江苏省工业与应用数学学会青年奖获奖 1 人，江苏省青蓝工程、333 人才工程入选者 3 人。中心目前设立有东南大学研究生校外实践基地、江苏省研究生工作站。
中心特别重视应用数学方法在解决国民经济重要问题的应用，目前设立计算几何及应用、大规模科学计算与介质成像、智能电网建模与计算和自主服务机器人四个主要研究方向。中心建设成效已引起了当地政府的高度关注。中共南京市委 2022 年 1 号文件明确提出要加快南京应用数学中心的建设。2021 年中心两个研究团队积极申报科技部数学与应用数学重点专项，均入围最终答辩。
中心已在国际一流学术期刊发表论文29篇，取得国家授权发明专利 2 项，获得省级科技奖励 2 人，中国自动化学会科技进步一等奖 1 项，国际发明展金奖 1 项，第十三届“中国电机工程学会杯”全国大学生电工数学建模竞赛一等奖 1 项。获得 2021 麒麟杯第二届东南大学全球校友创新创业大赛优胜奖 1 项，入选第二届发现东大独角兽智能制造大赛潜力之星，一项研究成果入选“2021 南京创新周应用场景推荐项目”。
南京应用数学中心已经取得的研究成果包括如下十个领域
■ 1、基于数学建模和科学计算的 COVID-19 疫情预测
COVID-19 已经给全球的社会和经济发展格局和带来了巨大的影响。对这样一类当代社会面临的重要问题，开展新冠疫情的数学建模和发展趋势预报，无论是对政府防疫政策的具体制定，还是对疫情影响下社会经济趋势的预测和判断，都具有重要的意义。继 2021 年初，中心在国际一流应用数学刊物 AMM 发表预测 COVID-19 发展的重要论文以后，中心在 2021 年结合国内新冠疫苗接种的新的形势，继续考虑了人类接种疫苗的有效率、疫苗对疾病治愈率，死亡率的影响，针对 2021 年江苏省扬州市发生的新冠疫情，2021 年在 AML 线上发表的论文考虑了带有延迟效应的 COVID-19 的传播模型及疫苗接种的影响，取得了很好的效果。
■ 2、遥感和材料科学中的数学建模和数值计算
带有多尺度结构的材料对入射声波场和电磁场的散射现象是一类重要的科学问题，数学上对应于一类偏微分方程定解问题的分析性质，应用上对应于具有特殊结构的材料对入射波的散射行为，在新型材料设计和目标隐形等前沿应用领域具有重要的科学意义。中心课题组研究了由多个小尺寸声软障碍体引起的声波散射问题，基于散射场的渐近分析，研究人员构造了一个等效散射介质，可以产生近似于原问题的散射场，且给出了两者之间的误差估计。同时还对该问题进行了数值研究，从数值上验证了渐近展开结果和等效介质散射问题的正确性。该工作的理论和数值结果在散射场的数值模拟、材料科学与成像科学中有重要的应用。研究成果发表于应用数学领域国际知名刊物《SIAM Mult. Model. Simul.》。
■ 3、手性介质中的电磁散射与逆散射的计算和应用
电磁波的散射与逆散射问题一直是应用数学与计算数学的热点课题，在地质资源勘探、雷达成像、军事目标检测、无损探伤等领域有重要的应用。一般三维介质中的电磁波散射问题需要用 Maxwell 方程组描述，但在某些特殊情况下可将其简化。在手性介质中，描述波传播的偏微分方程和边界条件中都是耦合的。
中心两年来对手性介质的电磁波散射问题开展了深入的研究，完成了两个方面的工作。其一建立了手性介质中斜入射电磁散射问题的数学模型，证明了正散射问题的适定性。其二、研究了散射体为手性介质且周围背景介质为均匀非手性介质的电磁波散射与逆散射问题，发展了利用远场测量数据重建手性散射介质的数值方法，并进行了数值实验。以上工作均发表于微分方程的专业刊物JDE上。
■ 4、基于抛物型方程反边值问题的扩散光学层析成像问题
扩散光学层析成像是一种被广泛采用的医学成像技术，其基本原理是利用激发源照射生物组织体，激发源产生的光子在生物组织体内被吸收和散射，通过在生物组织体表面放置接收器以接收光子的光强分布信息，从而重建生物体的光学参数。光学参数的高对比度提示生物组织体内部可能存在某种异常信息，为医学诊断（尤其是早期癌变）提供了科学依据。扩散光学层析成像的正问题模型依赖于空间尺度，中心研究人员主要研究了扩散模型描述的光学层析成像问题，旨在利用边界测量数值定位介质中的小尺寸内含物。研究团队给出了利用测量数据定位小尺寸物体的数值结果，验证了算法的可行性和有效性。值得注意的是，该算法是非迭代的，对每个采样点只需计算矩阵的奇异值分解，避免了传统迭代算法中需要的大计算量。研究成果发表于应用数学知名刊物《IMA J. Appl. Math.》。
■ 5、3D 计算共形几何及医学影像分割技术
3D 医学影像分割是针对特定的医学透视影像，对其中特定位置尤其是病变位置进行数据分割提取或者说像素点级别的语义分类。中心研发的结合最优传输方法的 3D 医学影像分割技术，巧妙实现医学影像标准化预处理，使得原始图像转化成立方体以便于输入机器学习模型的同时，能够保证极少的信息损失；此外再针对各类医学影像的特性搭建不同的神经网络，借助 GPU 实现高效的医学影像分割。利用计算几何思想，将目光聚焦在大脑的几何变换之上。由于医学扫描出来的图像需要保证包含一个完整的大脑，因此在 (240,240,155) 大小的图像中，只有少许部分存放大脑像素，大部分区域是无用的空气成分。借助最优传输方法，找到一个一对一的函数，保持局部质量（体积）不变，并满足最小形变，将一个 3D 脑影像转换成一个 1283 的立方体。基于此，一个不规则的 3D 脑影像就可以转变为张量表示，并作为深度卷积神经网络的输入进行分割计算，借助 U-net 神经网络，实现肿瘤分割。此时的分割结果仍然是一个立方体大脑表示的结果，利用最优传输变换的逆变换，立方体结果可以成功还原至原始大脑图像之中，并完成最终的分割任务。
2021 年中心研究团队参加了 BraTS 2021 脑肿瘤分割挑战比赛。BraTS 挑战赛是由 MICCAI 会议举办，其中 MICCAI 是由国际医学图像计算和计算机辅助干预协会(Medical Image Computing and Computer Assisted Intervention Society)共同举办，跨医学影像计算(MIC)和计算机辅助介入(CAI)两个领域的综合性学术会议，是该领域的顶级会议。
在 2021 年的 BraTS 比赛中，共有全世界一千余个团队参加，其中包括世界顶尖的生物医学科学家、计算机工程师和临床医生团队。此次比赛中，举办方为参赛者提供了高达 1251 张训练集图像以及 219 张测试集图像，每张图像都是一个四模态三维大脑影像，其维度大小为 (280,280,155)，其中包括 Flair，T1，T2 以及 T1ce 图。大脑肿瘤的设置与往年类似，需要分割的目标分为三类，为 whole tumor（整体肿瘤）、enhanced tumor（强化肿瘤）、tumor core（肿瘤核心）。
在今年比赛之中，中心团队运用以往比赛以及权威医学影像网站的数据，能够将训练数据扩充至 1561 张，其对 WT,TC,ET 三种肿瘤的分割测试精度分别能够达到 93.71%，90.62%，87.47%，这三项指标在参赛团队提供的结果之中均能排进前五名，说明了计算几何方法在三维医学影像上的应用是可行且十分有效的。
■ 6、三维光子晶体材料电磁问题的快速算法设计和实现
光子晶体是一种实现高效光子集成器件的新型光子人工带隙材料，在科学界和产业界被称为“光半导体”或“未来的半导体”，被誉为二十一世纪最具潜力的新型材料，在相关技术的实现和应用上，拥有许多重要的优势。然而，在光子晶体材料中，总是不可避免的存在缺陷和杂质，这让人们对波在时间和空间上进行精确的调控产生了障碍。追求低损耗，高效率，高稳定性的光学器件已经成为当前微纳光子器件研究的重要任务。
中心团队目前已经对（双向）各向同（异）性的三维光子晶体的14种布拉维晶格结构，建立了相应的麦克斯韦连续数学模型，并利用 Yee 氏全矢量空域有限差分方法建立相应的离散特征值问题模型，设计了一套高效算法，在理论上实现了根本性的创新。更进一步地，基于 GPU 高性能计算技术，搭建了仿真平台 FAME。FAME 运用了先进的数学技巧，计算效率比商业软件快了 20 多倍，程序放在网站 http://www.njcam.org.cn/fame/index.phtml 上，且入选了“2021 南京创新周应用场景推荐项目”。FAME 能够在一小时内模拟出数百万离散规模的完整的三维光子晶体能带结构。根据机器配置的不同，FAME 仿真平台可以自动设计离散的规模，以最大化使用服务器的性能。FAME 数值仿真平台，分析得到了不同手性参数下电磁波场在介质中的分布特征和能带结构。同时，通过 FAME 仿真平台的大量数值仿真，已搭建含数百组三维光子晶体能带结构参数的数据集，并制备出真实材料进行验证，展示了数值仿真对材料设计的指导意义。
■ 7、深度贝叶斯反演算法的研究
贝叶斯方法在现代应用数学和计算数学领域中有着重要的应用.项目团队一直致力于解决该领域中在实际应用中计算量大的核心困难，并围绕该问题开展了深入的研究。近两年来，中心团队开展了关于结合深度学习的快速贝叶斯反演算法的研究，学术论文 2020 年发表于由鄂维南院士等组织的《Communications in Computational Physics》特刊上。此工作研究了基于深度神经网络的自适应代理模型的构造和有效数值实现，设计了基于自适应多保真深度神经网络代理模型的 MCMC 方法，数值结果很好地验证了数值方法的有效性和可行性。在同等条件下，获取相同精度所需的计算代价大大降低。该结果自 2020 年发表以来，已经得到包括美国国家工程院院士张东晓教授，SIAM Fellow ICM 特邀报告人 A. Stuart 教授，美国国家工程院院士布朗大学 G.E. Karniadakis 教授等专家学者在内的关注与肯定，目前已经被引用近 20 次。课题组还研究了基于深度学习的先优化后抽样（RTO）的 MCMC 格式在贝叶斯反问题中的应用。
课题组借助深度神经网络构造代理模型，同时设计了基于目标依赖的训练集选择方案。数值结果表明，在保持计算精度的同时，基于深度学习的 RTO 格式计算时间可由传统的 9806s 降低至 170s，提高算法的有效性（在单位时间内取得有效样本个数的意义下，可提高近 40 倍）。
■ 8、大规模无人集群协同与博弈的智能优化决策研究
大规模无人集群协同机博弈任务将面临复杂环境、维数灾难、随机动态等亟待突破的新问题，通常非端到端优化决策采用定位感知/路径规划/动作决策等分段处理，尽管可以实现局部优化设计，但是难以有效解决上述难题，随着任务复杂化面临严峻挑战。本研究基于智能优化、强化学习、进化算法等数学理论和工具，开展大规模无人集群协同与博弈的智能优化决策研究，主要内容包括：大规模无人集群智能决策新模型，包括大规模无人机集群场景模型、智能决策模型；提出大规模无人机集群端到端智能决策新理论，包括智能决策方法、基于进化策略的端到端智能决策算法、联合进化策略与强化学习的智能决策算法；实现高保真大规模集群智能决策数学仿真，以及算法理论在工程上的部署应用等。
在此基础上，中心团队与有关单位合作，联合申报了“多机协调任务规划算法平台” 项目。为了完成飞行控制任务目标，由于需要考虑的因素过多，且供分析的数据不能充分的从历史数据和数值模拟中得到，传统的解决方案是依据飞行员的经验临场判断，这明显是不可持续和不稳定的，即使通过模拟的形式得到的数据和模型仍具有局限性。在这一问题上，现已有模型能模拟出单机的基本飞行控制（例如 JSBSim），这仅仅是解决问题的第一步，因为其无法提供任何的帮助来应对实际任务中的多机协调和对抗，我们需要在这基础之上，构建起一套在多机对抗，多机协同等不同任务环境要求下的高效成熟的任务规划算法平台。通过此项目，研究团队将完成在指定平台上的两种主要算法，第一是基于对抗性的多机协同，包括时时态势分析，任务决策制定和操作指导几部分，第二是基于合作的多机协同，主要包括编队飞行控制，通信和任务分配等方面。团队将完成基于多平台多形式的可解释算法，形成可移植软件并利用此套软件与人类准专家级对手的对抗，完成攻击和脱离等指定目标。
■ 9、电网大数据与电力系统高性能计算
中心智能电网课题组主要研究电网大数据与电力系统高性能计算。近日，课题组学术论文“Coordinated multiobjective optimization of the integrated energy distribution system considering network reconfiguration and the impact of price fluctuation in the gas market”发表在在国际期刊《International Journal of Electrical Power and Energy Systems》上。
这项工作主要研究电气互补系统中的多目标优化问题，采用混合整数规划的数学方法，考虑网络的重构和电价的波动，把多目标问题转化成单目标问题，形成工程上实用的电气互补优化方法。
在此同时，以解决国家电力行业重要应用问题为主要目标的课题组非常重视应用项目的研究。课题组近期和江苏省电力设计院合作，顺利完成中国能源建设集团大用户需量节费项目《用户侧储能需量节费优化配置技术研究》。用户侧储能配置的算法宏观上可以分为两类：第一类不需要建立优化模型，无需考虑用户实际的负荷数据，而是采集用户的历史负荷数据和电价信息等先验信息，预测出下一阶段用户负荷，再对下一阶段的用户负荷进行储能配置。通过削减用户上报的最大需量值来降低用户的需量电费，达到用户负荷需量管理的目的。第一类算法一般以降低用户负荷峰值和对应负荷峰值所配置储能成本最低为目标，算法计算完成后需要对削峰填谷效果进行评估，以便于调整算法的先验参数。第二类则需要建立完整的优化模型，根据用户用电的实际场景采集数据，以用户收益最大或者电网需量调节效果最佳为目标，以实时电价收费制度和用户用电习惯、储能装置充放电条件为约束，对储能装置配置参数和日充放电策略进行优化。
■ 10、自主喂食机器人
老年及残疾人护理机器人是服务机器人中具有重大前景的一类机器人，我国此类机器人相对其它种类服务机器人起步较晚，需求量很大。基于更好地满足老年及残疾人餐饮需求的理念，中心自主服务机器人项目研究团队设计并生产出国内第一台软体喂食机器人样机。本样机是一种助老、助残服务机器人，此机器人将蜂巢气动网格与传统的机械传动相结合，辅助以各式传感器，实现了软体结构的精准控制，并将此种结构用于助老喂食任务，设计了一套完整的软体喂食机器人系统，获得较好的效果。
目前现有的喂食机器人无一例外的采用了刚性结构，大体上基于多轴机械臂开发而来。这些刚性机器人在定位精度上具有一定的优势，可以实现喂食任务，但是交互性不好，给使用者一种恐惧感，当出现意外情况时极易伤害使用者，因此不能得到很好的普及。
针对以上情况,中心团队设计的软体喂食机器人以气囊为基础，驱动一段蜂巢气动网络，辅助以二轴丝杆实现喂食机器人末端在空间中的自由运动，
喂食机器人的总体形式
系统配置了视觉传感器，并基于 Python 与 Opencv 设计了一种人脸检测方案，对视野中的人脸位置进行检测，从而对嘴部位置进行定位，进行自动精确喂食。
系统样机目前测试达到预期的效果，正在进一步进行人的表情、情感研究，实现喂食机器人与人的互动。■
（原文于2022年3月10日刊登于《数理人文》（微信订阅号：math_hmat）。未经许可，不得转载。）
